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Die Faddeeva-Funktion (auch Kramp-Funktion oder relativistische Plasma-Dispersions-Funktion) ist eine skalierte komplexe komplementäre Fehlerfunktion,

w ( z ) := e − − z 2 erfc ⁡ ⁡ ( − − i z ) = e − − z 2 ( 1 + 2 i π π ∫ ∫ 0 z e t 2 d t ) . {\displaystyle w(z):=e^{-z^{2}}\operatorname {erfc} (-iz)=e^{-z^{2}}\left(1+{\frac {2i}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{t^{2}}{\text{d}}t\right).}

Sie ist verwandt mit den Fresnel-Integralen, den Dawson-Integralen und dem Voigt-Profil. Die Funktion ist nach Wera Nikolajewna Faddejewa benannt.

• Eigenschaften

• Real- und Imaginärteil

• Integraldarstellung

• Verhalten bei Vorzeichenumkehr

• Ableitung

• Beziehungen zu anderen Funktionen

• Dawsonsche Funktion

• Komplementäre Fehlerfunktion

• Geschichte

• Implementierungen

• Literatur

• Quellen

Für genauere Betrachtungen lässt sich w ( z ) {\displaystyle w\left(z\right)} mit z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} wie folgt zerlegen:

w ( z ) = V ( x , y ) + i L ( x , y ) {\displaystyle w(z)=V\left(x,y\right)+iL\left(x,y\right)} ,

V {\displaystyle V} und L {\displaystyle L} stellen hierbei die reale und imaginäre Voigt-Funktion dar, da es sich bei V ( x , y ) {\displaystyle V(x,y)} bis auf Vorfaktoren um das Voigt-Profil handelt.cite-ref-avetisov-1995-1-0[1]

Die Faddeeva-Funktion besitzt die Integraldarstellung

w ( z ) = i π π ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ e − − t 2 z − − t d t ℑ ℑ ( z ) > 0 {\displaystyle w(z)={\frac {i}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}}}{z-t}}\,\mathrm {d} t\qquad \Im \left(z\right)>0}

sprich sie ist die Konvolution einer Gauß-Funktion und einer einfachen Polstelle.cite-ref-avetisov-1995-1-1[1]

Die reale und imaginäre Voigt-Funktion lassen sich in ähnlicher Weise darstellen:cite-ref-avetisov-1995-1-2[1]

V ( x , y ) = y π π ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ e − − t 2 ( x − − t ) 2 + y 2 d t {\displaystyle V\left(x,y\right)={\frac {y}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}}}{\left(x-t\right)^{2}+y^{2}}}\,\mathrm {d} t}

L ( x , y ) = 1 π π ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ ( x − − t ) ⋅ ⋅ e − − t 2 ( x − − t ) 2 + y 2 d t {\displaystyle L\left(x,y\right)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\left(x-t\right)\ \cdot \ e^{-t^{2}}}{\left(x-t\right)^{2}+y^{2}}}\,\mathrm {d} t}

Bei einer Vorzeichenumkehr von z {\displaystyle z} kann bei Berechnungen auf die folgenden Zusammenhänge zurückgegriffen werden:

w ( − − z ) = 2 e − − z 2 − − w ( z ) {\displaystyle w(-z)=2e^{-z^{2}}-w(z)}

sowie

w ( − − z ) = w ( z ¯ ¯ ) ¯ ¯ {\displaystyle w(-z)={\overline {w\left({\overline {z}}\right)}}}

z ¯ ¯ {\displaystyle {\overline {z}}} ist die Konjugation von z {\displaystyle z} .cite-ref-2[2]

In manchen Anwendungen muss nicht nur die Faddeeva-Funktion selbst, sondern auch ihre Ableitungen berechnet werden, beispielsweise bei der Nichtlinearen Regression in der Spektroskopie. Ihre analytische Ableitung lautet:cite-ref-avetisov-1995-1-3[1]cite-ref-3[3]

d w ( z ) d z = 2 i π π − − 2 ⋅ ⋅ z ⋅ ⋅ w ( z ) {\displaystyle {\frac {dw\left(z\right)}{dz}}={\frac {2i}{\sqrt {\pi }}}-2\cdot z\cdot w\left(z\right)}

Dieser Ausdruck kann auch herangezogen werden, um die Änderungen im Real- und Imaginärteil der Faddeeva-Funktion ℜ ℜ ( w ( z ) ) = ℜ ℜ w {\displaystyle \Re \left(w\left(z\right)\right)=\Re _{w}} und ℑ ℑ ( w ( z ) ) = ℑ ℑ w {\displaystyle \Im \left(w\left(z\right)\right)=\Im _{w}} nachzuvollziehen. Im Prinzip muss dafür das Produkt z ⋅ ⋅ w ( z ) {\displaystyle z\cdot w\left(z\right)} eingehender betrachtet werden. Mit der obigen Definition des Arguments z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} , kann die Ableitung auch in ihre partiellen Ableitungen nach x {\displaystyle x} und y {\displaystyle y} zerlegt werden:

d ℜ ℜ w d x = 2 ⋅ ⋅ ( y ⋅ ⋅ ℑ ℑ w − − x ⋅ ⋅ ℜ ℜ w ) = d ℑ ℑ w d y {\displaystyle {\frac {d\Re _{w}}{dx}}=2\cdot \left(y\cdot \Im _{w}-x\cdot \Re _{w}\right)={\frac {d\Im _{w}}{dy}}}

d ℜ ℜ w d y = − − 2 ⋅ ⋅ ( 1 π π − − x ⋅ ⋅ ℑ ℑ w − − y ⋅ ⋅ ℜ ℜ w ) = − − d ℑ ℑ w d x {\displaystyle {\frac {d\Re _{w}}{dy}}=-2\cdot \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}-x\cdot \Im _{w}-y\cdot \Re _{w}\right)=-{\frac {d\Im _{w}}{dx}}}

d ℑ ℑ w d x = 2 ⋅ ⋅ ( 1 π π − − x ⋅ ⋅ ℑ ℑ w − − y ⋅ ⋅ ℜ ℜ w ) = − − d ℜ ℜ w d y {\displaystyle {\frac {d\Im _{w}}{dx}}=2\cdot \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}-x\cdot \Im _{w}-y\cdot \Re _{w}\right)=-{\frac {d\Re _{w}}{dy}}}

d ℑ ℑ w d y = 2 ⋅ ⋅ ( y ⋅ ⋅ ℑ ℑ w − − x ⋅ ⋅ ℜ ℜ w ) = d ℜ ℜ w d x {\displaystyle {\frac {d\Im _{w}}{dy}}=2\cdot \left(y\cdot \Im _{w}-x\cdot \Re _{w}\right)={\frac {d\Re _{w}}{dx}}}

Es gilt folgende Beziehung zur Dawsonschen Funktion D + ( x ) {\displaystyle D_{+}(x)}

w ( x ) = e − − x 2 erfc ⁡ ⁡ ( − − i x ) = e − − x 2 + 2 i π π D + ( x ) . {\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}\operatorname {erfc} (-ix)=e^{-x^{2}}+{\frac {2i}{\sqrt {\pi }}}D_{+}(x).} cite-ref-4[4]

Für rein imaginäre Argumente i y {\displaystyle iy} entspricht die Faddeeva-Funktion der skalierten Komplementären Fehlerfunktion e r f c x {\displaystyle erfcx}

w ( i y ) = e r f c x ( y ) = e y 2 e r f c ( y ) {\displaystyle w(iy)=\mathrm {erfcx} (y)=e^{y^{2}}\mathrm {erfc} (y)} ,

mit der Komplementären Fehlerfunktion e r f c {\displaystyle erfc} .

Die Funktion wurde 1954 von Wera Faddejewa und Terentjew tabuliert.cite-ref-5[5] Sie erscheint als namenlose Funktion w ( z ) {\displaystyle w(z)} im Standardwerk von Abramowitz-Stegun (1964), Formel 7.1.3. Der Name Faddeeva function wurde anscheinend 1990 von Poppe und Wijers eingeführt.cite-ref-6[6]

Steven G. Johnson hat eine Implementierung als freie und offene Software veröffentlicht, die auf einer Kombination der Algorithmen 680 und 916 beruht.cite-ref-7[7] Sie liegt der Funktion scipy.special.wofz in der Python-Bibliothek SciPy zugrunde, und sie ist auch in Form einer C-Bibliothek libcerf verfügbar.cite-ref-8[8]

Für Matlab existiert eine öffentlich einsehbare Implementierung, die auf einer Approximation durch Fourierreihen sowie einer unendlichen Bruchdarstellung basiert.cite-ref-9[9]

• W. Gautschi ACM Transactions on Mathematical Software (1969?): ACM Algorithmus 363.

• W. Gautschi SIAM J. Numer. Anal. 7, 187 (1970).

• G. P. M. Poppe, C. M. J. Wijers, ACM Transactions on Mathematical Software 16, 38–46 (1990): ACM Algorithm 680.

• J. A. C. Weideman, SIAM J. Numer. Anal. 31, 1497–1518 (1994): Besonders kompakter Algorithmus in 8 Zeilen Matlab.

• M. R. Zaghloul and A. N. Ali, ACM Transactions on Mathematical Software 38, 15 (2011): ACM Algorithm 916.

• S. M. Abrarov and B. M. Quine, Appl. Math. Comp. 218, 1894–1902 (2011).

• S. M. Abrarov and B. M. Quine, Arxiv, Preprint 2012

cite-note-avetisov-1995-11. ↑ V. G. Avetisov: A Least-Squares Fitting Technique for Spectral Analysis of Direct and Frequency-Modulation Lineshapes. In: Fakultät für Physik der Universität Lund (Hrsg.): Lund Reports in Atomic Physics. LRAP-186, 1995 (lu.se [PDF]).

cite-note-22. ↑ W. Gautschi: Efficient Computation of the Complex Error Function. In: Society for Industrial and Applied Mathematics (Hrsg.): SIAM Journal on Numerical Analysis. Band 7, Nr. 1, 1970, S. 187–198 (nasa.gov [PDF]).

cite-note-33. ↑ National Institute of Standards and Technology (NIST): 7 Error functions, Dawson's and Fresnel integrals - 7.10 Derivatives, 15. März 2023, abgerufen am 14. Mai 2023

cite-note-44. ↑ J. H. McCabe: A Continued Fraction Expansion, with a Truncation Error Estimate, for Dawson's Integral. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Mathematics of Computation. Band 28, Nr. 127, 1974, S. 811–816.

cite-note-55. ↑ V. N. Faddeeva, N. N. Terent'ev: Tables of values of the function w ( z ) = exp ⁡ ⁡ ( − − z 2 ) ( 1 + 2 i / π π ∫ ∫ 0 z exp ⁡ ⁡ ( t 2 ) d t ) {\displaystyle w(z)=\exp(-z^{2})(1+2i/{\sqrt {\pi }}\int _{0}^{z}\exp(t^{2}){\text{d}}t)} for complex argument. Gosud. Izdat. Teh.-Teor. Lit., Moscow, 1954; English transl., Pergamon Press, New York, 1961.

cite-note-66. ↑ Google-Scholar-Recherche laut engl. Wikipedia.

cite-note-77. ↑ Faddeeva Package, unter MIT-Lizenz.

cite-note-88. ↑ Archivierte Kopie (Memento vom 17. Februar 2013 im Webarchiv archive.today)

cite-note-99. ↑ Sanjar Abrarov: The Voigt/complex error function (second version), MATLAB Central File Exchange, 10. Juli 2016, abgerufen am 14. Mai 2023